Tìm m để các bất phương trình ${(3\sin x – 4\cos x)^2} – 6\sin x + 8\cos x \ge 2m – 1$ đúng với mọi $x \in R$

Tìm m để các bất phương trình ${(3\sin x – 4\cos x)^2} – 6\sin x + 8\cos x \ge 2m – 1$ đúng với mọi $x \in R$

A. $m > 0$

B. $m \le 0$

C. $m < 0$

D. $m \le 1$

Lời giải

Đặt $t = 3\sin x – 4\cos x \Rightarrow – 5 \le t \le 5$

Ta có: $y = {(3\sin x – 4\cos x)^2} – 6\sin x + 8\cos x$
$ = {t^2} – 2t = {(t – 1)^2} – 1$

Do $ – 5 \le t \le 5 \Rightarrow 0 \le {(t – 1)^2} \le 36 \Rightarrow \min y = – 1$

Suy ra yêu cầu bài toán $ – 1 \ge 2m – 1 \Leftrightarrow m \le 0$ .