Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3sinx + 4cosx + 1

Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3sinx + 4cosx + 1

A. maxy = 6, min y = – 2 ,

B. maxy = 4, min y = – 4 ,

C. maxy = 6, min y = – 4 ,

D. maxy = 6, min y = –  1 ,

Lời giải

Áp dụng BĐT ${(ac + bd)^2} \le ({c^2} + {d^2})({a^2} + {b^2})$ .

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ .

Ta có: ${(3\sin x + 4\cos x)^2} \le ({3^2} + {4^2})({\sin ^2}x + {\cos ^2}x) = 25$

$ \Rightarrow – 5 \le 3\sin x + 4\cos x \le 5 \Rightarrow – 4 \le y \le 6$ .

Vậy $\max y = 6$ , đạt được khi $\tan x = \frac{3}{4}$ .

$\min y = – 4$ , đạt được khi $\tan x = – \frac{3}{4}$ .

Chú ý:

Với cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau

$\max (a\sin x + b\cos x) = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ , $\min (a\sin x + b\cos x) = – \sqrt {{a^2} + {b^2}} $

Tức là: $ – \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\sin x + b\cos x \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ .

Trên đây là những chia sẻ về cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất thuộc phần lượng giác. Hy vọng bài viết này đã giúp ích được cho bạn.